Curiosités historiques géométriques

  

Roulette de charron

Appellée aussi « Calibre ».
Roue en peuplier, étrier/manche en frêne.
Diamètre : 16,5cm.
Assemblage par boulon d’acier à collet.
A l’aide d’un repère gravé, la roulette sert à mesurer la circonférence des roues pour préparer les bandages en fer.

Nous avons trouvé dans les écuries du château deux roues de charrette en bois dont la circonférence était divisée en sept secteurs – qui prouvent que l’artisan constructeur disposait d’une méthode pour le tracé de l’heptagone, réputé inconstructible avec la règle et le compas.

La littérature médiévale est pleine de propositions pour les tracés de la trisection de l’angle et de l’heptagone. Il faudra attendre le mathématicien Gauss (1777-1855) pour avoir la démonstration que certains polygones réguliers ne peuvent pas être exactement construits à la règle et au compas. C’est le cas de l’heptagone et de l’ennéagone.
Nous proposons deux méthodes de tracé approché de l’heptagone et de l’ennéagone (9 côtés) qui ont été utilisées dans le compagnonnage et une digression sur le nombre d’or qui a beaucoup intéressé nos ancêtres.

 

 

Tracé de l’heptagone

Méthode approchée – 7 angles de 51°,42 (compagnons)

L’angle au centre de l’heptagone est égal à 360°/7 = 51°,42
Le côté de l’heptagone GH est égal au rayon OH x 2 sin (51°,42/2)
Si le rayon =1, sin (51°,42/2) = 0,4338 -> GH = 0,867
Sur le même cercle on trace le triangle équilatéral ABC
On remarque que BD = rayon x cos 30°, ou, rayon x sin 60°, or sin 60° = cos 30° = 0,866 = BD

Le 1/2 côté du triangle équilatéral inscrit est une valeur très approchée du côté de l’heptagone inscrit dans le même cercle

 

Trisection d’un angle

Méthode dite de THALES méthode approchée utilisée par les compagnons

Soit un angle AÔB

• Tracer un cercle de centre O rayon OB diamètre CB
• Tracé un arc de cercle de centre B rayon BC
• Tracé un arc de cercle de centre C rayon CB

Ces arcs se coupent en D

• Tracer AD qui coupe OB en E
• Sur une droite quelconque porter 3 segments égaux EG, GH, HI
• Tracer BI et des parallèles à BI passant par H et G qui coupent EB en J et K
• Tracer DJ et DK qui coupent le cercle de centre O en N et M
• Les arcs BM, MN et NA sont presque égaux

Donc AÔN ≈ NÔM ≈ MÔB

Tracé de l’enneagone (méthode approchée)

Le tracé de l’énnéagone (9 côtés, 9 angles au centre de 40°) revient en fait à réaliser la trisection d’un angle au centre de
120°, cet angle de 120° étant obtenu par la construction d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle avec le seul moyen
de la règle et du compas.

• On trace le cercle de centre O de rayon OX, avec un angle OÂB = 120° (AB étant l’un des côtés du triangle équilatéral inscrit)
• Tracer l’arc de cercle de rayon XY et de centre X
• Tracer l’arc de cercle de rayon YX et de centre Y. Ces arcs se coupent en I
• Tracer IA et IB qui coupent le diamètre XY en C et D
• A partir de C sur une droite quelconque porter avec un compas trois segments égaux CE = EF = FG
• Joindre GD et tracer les parallèles (au moyen de la règle et du compas), FH et EK qui coupent XY en K et H
• Tracer IK et IH qui coupent XY en K et H
• Tracer IK et IH qui coupent le cercle en L et M
• Les arcs AL, LM, MB sont presque égaux avec des angles au centre voisins de 40°