Le nombre d’Or, géométrie et quadrature du cercle
Le nombre d’Or
Soit le segment AB partagé par le point C, on parle de « divine proportion » lorsque
Si AC = a et CB = b, on définit le nombre d’or comme rapport a/b qu’on appelle phi
La divine proportion peut s’écrire :
Si on multiplie tous les termes par phi on obtient l’équation
Cette équation admet comme solution positive
qui est le nombre égal au nombre d’Or : 1,61803398
De l’équation précédente on relève deux propriétés intéressantes du nombre d’or :
Le seul nombre qui lorsqu’on lui ajoute l’unité devient son carré, et, lorsqu’on lui soustrait l’unité devient son inverse
Autres propriétés remarquables :
Les nombres ainsi obtenus définissent une « suite » dite : « suite de Fibonacci » : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …..
Nombre d’Or et unités de mesure
Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisent 5 unités de mesure relatives au corps humain :
la paume = 34 lignes = 7,64 cm
la palme = 55 lignes = 12,36 cm l’empan = 89 lignes = 20 cm
le pied = 144 lignes = 32,36 cm
la coudée = 233 lignes = 52,36 cm
Il en résulte 2 constatations surprenantes :
on passe d’une mesure à l’autre en la multipliant par le nombre d’or
la palme = la paume x 1,618 (7,64 x 1,618) = 12,36 cm le pied = l’empan x 1,618 (20 x 1,618) = 32,36 cm
la coudée = le pied x 1,618 (32,36 x 1,618) = 52,36 cm
Une unité de mesure est égale à la somme des deux précédentes
empan = palme + paume (12,36 + 7,64) = 20 cm pied = empan + paume (20 + 12,36) = 32,36 cm coudée = empan + pied (20 + 32,36) = 52,36 cm
Il en résulte 2 constatations surprenantes :
on passe d’une mesure à l’autre en la multipliant par le nombre d’or
- la palme = la paume x 1,618 (7,64 x 1,618) = 12,36 cm
- le pied = l’empan x 1,618 (20 x 1,618) = 32,36 cm
- la coudée = le pied x 1,618 (32,36 x 1,618) = 52,36 cm
Une unité de mesure est égale à la somme des deux précédentes
- empan = palme + paume (12,36 + 7,64) = 20 cm
- pied = empan + paume (20 + 12,36) = 32,36 cm
- coudée = empan + pied (20 + 32,36) = 52,36 cm
Nombre d’Or et Géométrie
Construction géométrique du nombre d’or
• Soit un carré ABCD
• O milieu de AD
• Un arc de cercle de centre O et de rayon OC coupe le prolongement de AD en F • Le segment AF représente le nombre d’or
Calcul de AF
Nombre d’or et pentagone
Le pentagone régulier est un polygone régulier à 5 côtés inscrit dans un cercle et dont tous les côtés et tous les angles ont les mêmes mesures.
L’angle entre deux côtés consécutifs vaut 108°
Calcul de FD
Spirale d’Or
La Quadrature du cercle
Il s’agit de construire un carré dont la surface soit égale à celle d’un cercle.
Si on choisit un cercle dont le rayon est l’unité, il faut tracer un carré dont le côté soit égal à π puisque la surface du cercle est égale à π.
Première Partie : Construction géométrique du nombre π d’après Kochansky
- Soit un cercle de centre B et de rayon BC = 1 (unité), deux diamètres perpendiculaires AC et OJ, deux perpendiculaires en A et C au diamètre AC.
- Sur la perpendiculaire à AC en C, on trace trois segments égaux
CD = DE = EF = 1 (unité) - Un arc de cercle de centre J, rayon JB = 1 (unité), coupe le cercle précédent en G et K, déterminant un côté du triangle équilatéral inscrit et par conséquence un angle (A B G) = 30°
- BG prolongé coupe la perpendiculaire en A en H.
Le segment FH est égal à π
Démonstration :
- On trace la perpendiculaire IH à CF
- Dans le triangle ABH tg 30° = AH/AB= 0,57735 (AB = 1 unité)
- Dans le triangle rectangle HIF, HI = AC = 2 unités
- IF = CF – CI et CI = AH = 0.57735
- HI2 +IF2 = HF2 (IF = 3 – 0.57735)
- HF2 = 4 + (3 – 0.57735)2
- Soit : HF = 9,86923
Deuxième partie : construction géométrique de π
Soit FH = Π , on prolonge FH en M tel que HM = 1 (unité)
- Soit Q milieu de MF
- Un arc de cercle MLF (centre Q)
- Une perpendiculaire à HF élevée en H coupe l’arc de cercle en L,
LH = Π
Démonstration :
Les triangles MFL et LHM sont rectangles et semblables : LH/HM = FH/LH
En conséquence :
- LH2 = HM *FH, HM = 1 (unité)
- LH2 = FH = Π
- LH = Π
Conclusion :
La surface du carré LPNH dont le côté est égal à Π est proche de la surface égale à Π du cercle de centre H et de rayon HM = 1